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几何法求最值技巧
一、教学目标:
使学生掌握几何法求最值的常规技巧.会用几何法求某些函数的最值.
二、教学重难点:
如何平移线段和如何构造图形是本课的重点又是难点.
三、教学方法:探研法.
四、教 具:多媒体.
五、教学过程:
1.引入课题
函数的最值(值域)是高中数学的重点内容,也是近几年高考的热点，对最值的求
解可分为两大类：
对能写出解析式(较简单的)可用配方法、判别式法、有界法、函数单调性、重要
不等式、导数法.
对不能写出解析式(或解析式较复杂)可用线段平移、构造图形、表面展开、线性
规划等方法.
2.例题选讲
例1.在直线L:y= x+3上取一点P,过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为焦点作椭圆,
求椭圆长轴的最小值及此时P点的坐标与椭圆方程.
解:易求得双曲线的两焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),由此设椭圆为:
由椭圆定义与平面几何的结论得:
当且仅当点P重合于点Po时，上式取"="号，
例2.如图,有一条河,两个工厂P和Q位于河岸L(直线)的同侧，工厂P和Q距离河岸L分别为10km和8km,两个工厂的距离为14km,现要在河岸的工厂一侧选一处R,在R处修一个水泵站,从R修建直线输水管分别到两个工厂和河岸,使直线输水管的总长度最小.请确定出水泵站R的位置,并求出R到各处的距离.
解: 将⊿PRQ绕P点逆时针旋转60o到PR'Q'(如图)
当Q',R',R三点共线且垂直L时总长最小.
此时∠PRQ=120o, ∠PRR'=∠QRR'=60o,
延长QR交P到L的垂线于A点,则⊿PRA为正三角形
作QB垂直PA于B,可求得BA=8,又PB=2,所以
PR=PA=10,R到L的距离为5,QR=QA-RA=6.
回归:若R点在河岸L上时如何求解？结果如何？
引申:若将上述三个距离改为任意正数a,b,c时
如何求解？
